Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，b）與向量$\overrightarrow{n}$=（a-c，b-a）互相垂直．
（1）求角C；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0化簡整理得a²+b²-c²=ab代入余弦定理即可求得cosC，結(jié)合C的范圍進而求得C．
（2）由第二問得到的A與B的關(guān)系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍，求出此時正弦函數(shù)的值域，可得出所求式子的范圍．

解答 解：$（1）由已知可得：_{\;}^{\;}（{a+c}）（{a-c}）+b（{b-a}）=0⇒{a^2}+{b^2}-{c^2}=ab$，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$．
$（2）_{\;}^{\;}∵C=\frac{π}{3}$，
∴$A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$sinA+sinB=sinA+sin（{\frac{2π}{3}-A}）=sinA+sin\frac{2π}{3}cosA-cos\frac{2π}{3}sinA$=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA}）=\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}⇒\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinA+sinB=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
則sinA+sinB的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．