Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸是短軸的$\sqrt{2}$倍，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若y軸上一點(diǎn)M（0，$\frac{1}{3}$）滿(mǎn)足|MA|=|MB|，求直線l斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a=$\sqrt{2}$b，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a和b的值，寫(xiě)出橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，確定AB的中垂線方程，利用|MA|=|MB|，即可求直線l的斜率k的值．

解答 解：（1）由題意可知：2a=$\sqrt{2}$•2b，即a=$\sqrt{2}$b，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）已知F₂（1，0），設(shè)直線的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡(jiǎn)得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$）
①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）
∵|MA|=|MB|，
∴點(diǎn)M在AB的中垂線上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得：$\frac{1}{3}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（0-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
即2k²-3k+1=0，解得k=1或$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)k=0時(shí)，AB的中垂線方程為x=0，滿(mǎn)足題意，
∴斜率k的取值為0，1或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．