Question

2．網(wǎng)店為促銷，拿出A，B，C三件商品進(jìn)行搶拍．A，B，C被搶拍成功的概率分別是$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$．小明均參與了以上三件商品的搶拍．
（1）求至少有一件商品被小明搶拍成功的概率；
（2）記小明搶拍成功商品的件數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）至少有一件商品被小明搶拍成的對(duì)立事件為三件商品中沒有一件被搶拍成功，由概率公式三件商品中沒有一件被搶拍成功的概率為${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，由$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$；
（2）由題意可知：ξ的取值為0，1，2，3，根據(jù)概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）三件商品中沒有一件被搶拍成功的概率為${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，
∴三件商品中至少有一件被小明搶拍成功的概率為$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$．
（2）由題意可知：ξ=0，1，2，3，
則$P（ξ=0）=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=1）=\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{17}{36}$，
$P（ξ=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{11}{36}$，
$P（ξ=3）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{17}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$

$Eξ=0×\frac{1}{6}+1×\frac{17}{36}+2×\frac{11}{36}+3×\frac{1}{18}=1.25$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量及分布列，考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查對(duì)立事件的概率公式，屬于中檔題．