Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x∈R）
（1）分別計(jì)算f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）由（1）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的解析式真假求解函數(shù)值即可．
（2）利用（1）可知f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．然后證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x∈R），
f（2）+f（$\frac{1}{2}$）
=$\frac{4}{1+4}$+$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}$
=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）
=$\frac{9}{1+9}$+$\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$
=$\frac{9}{10}$$+\frac{1}{10}$
=1，
f（4）+f（$\frac{1}{4}$）
=$\frac{16}{1+16}$+$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}$
=$\frac{16}{17}$+$\frac{1}{17}$
=1．
（2）由（1）可知f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．
證明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$
=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值的求法，函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．