Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+2y-2=0交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{5}$，且弦AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$），求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 弦AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$），代入直線方程可得m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=2，a²=4b²，x₁x₂=2-2b²．利用|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$，即可得出．

解答 解：∵弦AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$），∴m+2×$\frac{1}{2}$-2=0，解得m=1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化為：（a²+4b²）x²-4a²x+4a²-4a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$=2，x₁x₂=$\frac{4{a}^{2}-4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，
可得a²=4b²，∴x₁x₂=2-2b²．
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-4×（2-2^{2}）}$=$\sqrt{5}$，可得b²=$\frac{9}{8}$，a²=$\frac{9}{2}$．
∴此橢圓的方程為$\frac{2{x}^{2}}{9}$+$\frac{8{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題題．