Question

6．已知ABCD是矩形，設(shè)PA=a，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN⊥AB；
（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P-CD-A的大��；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求三棱錐D-AMN的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DC的中點(diǎn)E，連接EN、EM，證明CD⊥平面MNE，得出CD⊥MN，再證AB⊥MN即可；
（Ⅱ）先判斷∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，再利用PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，即可求得二面角P-CD-A的大��；
（Ⅲ）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐D-AMN的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，取DC的中點(diǎn)E，連接EN、EM，
∵M(jìn)、N為AB、PC的中點(diǎn)，
∴EN∥PD，EM∥DA；
在矩形ABCD中，AD⊥CD，
∴EM⊥CD；
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
∴CD⊥PD，
∴CD⊥EN；
又EN∩EM=E，
∴CD⊥平面MNE，
∴CD⊥MN；
又CD∥AB，
∴AB⊥MN；
（Ⅱ）解：由PD=AB=DC，N是PC的中點(diǎn)得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND，
∴PC⊥MN，∴MP=MC，
∴Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=a，
即PA=AD=a，∠PDA=45°，
易知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，
∴二面角P-CD-A的大小為45°．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，AD=a，AB=$\sqrt{2}$a，
∴S_△DAM=$\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$，
∴V_D-AMN=V_N-DAM=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{24}{a}^{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與平面垂直的應(yīng)用問題，考查了二面角的大小，三棱錐體積的計算，是綜合性題目．