Question

11．如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB₁=$\sqrt{2}$，M為線段B₁D₁的中點．
（1）求證：MB⊥AC
（2）求三棱錐D₁-ACB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連接D₁O，由O、M分別是BD、B₁D₁的中點，四邊形BDD₁B₁是矩形，可得四邊形D₁OBM是平行四邊形，得到
D₁O∥BM，再由已知證得OD₁⊥AC，則有MB⊥AC；
（2）由已知通過求解三角形證得D₁O⊥平面AB₁C，然后代入棱錐體積公式求得三棱錐D₁-ACB₁的體積．

解答 證明：（1）如圖，連接D₁O，
∵O、M分別是BD、B₁D₁的中點，四邊形BDD₁B₁是矩形
∴四邊形D₁OBM是平行四邊形，
∴D₁O∥MB．
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的正方形，
可得AD₁=D₁C，
又O為AC中點，可得OD₁⊥AC，
∴MB⊥AC；
解：（2）連接OB₁，
∵正方形ABCD的邊長為2，$B{B}_{1}=\sqrt{2}$，
∴${B}_{1}{D}_{1}=2\sqrt{2}$，OB₁=2，D₁O=2，
則$O{{B}_{1}}^{2}+{D}_{1}{O}^{2}={B}_{1}{{D}_{1}}^{2}$，
∴OB₁⊥D₁O．
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，
又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．
∴${V}_{{D}_{1}-AC{B}_{1}}=\frac{1}{3}{D}_{1}O•{S}_{△AC{B}_{1}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．