如圖,是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,又=1,∠=120°,⊥,直線與直線所成的角為60°.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)求點(diǎn)到面的距離.
(1);(2).
解析試題分析:此題可用向量法來求解.(1)由題意易知,則在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn),分別以、、為軸,為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),由直線與直線所成角為,求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而可確定點(diǎn)的坐標(biāo),由平面內(nèi)向量、可求得平面平面的法向量,平面法向量為,根據(jù)向量的數(shù)量積公式,可求出向量與夾角的余弦值,從而求出所求二面角的余弦值;(2)先求出平面的法向量,又點(diǎn)在平面內(nèi),可求出向量的坐標(biāo),由點(diǎn)到平面的向量計(jì)算公式可求得點(diǎn)到平面的距離.
試題解析:(1)∵∴.
在平面內(nèi),過作,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
由題意有,設(shè),
則
由直線與直線所成的解為,得,
即,解得
∴,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,取,得,平面的法向量取為
設(shè)與所成的角為,則.
顯然,二面角的平面角為銳角,故二面角的余弦值為. 5分
(2),,,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,
取
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直,,∥,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知正方體的棱長為2,E、F分別是、的中點(diǎn),過、E、F作平面交于G.
(l)求證:EG∥;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且底面ABCD,,E是PA的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面EBD;
(2)若PA=AB=2,直線PB與平面EBD所成角的正弦值為,求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知長方形中,,為的中點(diǎn).將沿折起,使得平面平面.
(1)求證:;
(2)若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)E在何位置時(shí),二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形,,平面,,,,.
(1)若是線段的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在四棱錐中,//,,,平面,.
(1)求證:平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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