如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.
（1）求二面角的的余弦值；
（2）求點到面的距離.

（1）；（2）.

解析試題分析：此題可用向量法來求解.（1）由題意易知，則在平面內(nèi)過點作交于點，分別以、、為軸，為原點建立空間直角坐標系，找出相應(yīng)點的坐標，由直線與直線所成角為，求出點的坐標，從而可確定點的坐標，由平面內(nèi)向量、可求得平面平面的法向量，平面法向量為，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，可求出向量與夾角的余弦值，從而求出所求二面角的余弦值；（2）先求出平面的法向量，又點在平面內(nèi)，可求出向量的坐標，由點到平面的向量計算公式可求得點到平面的距離.
試題解析：（1）∵∴．
在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設(shè)，
則
由直線與直線所成的解為，得，
即，解得
∴，設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，得，平面的法向量取為
設(shè)與所成的角為，則．
顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．   5分
（2），，，，．
設(shè)平面的一個法向量，則，
取

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相關(guān)習(xí)題

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如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．

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如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，為的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點.

（1）求證：平面平面EBD；
（2）若PA=AB=2，直線PB與平面EBD所成角的正弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知長方形中，,為的中點.將沿折起，使得平面平面.


（1）求證：；
（2）若點是線段上的一動點，問點E在何位置時，二面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，.

（1）若是線段的中點，求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，//，，，平面，.

（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）設(shè)點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為，的中點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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