Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面ABCD垂直，M為PC的中點．
（I）求證：PC⊥AD；
（Ⅱ）求直線DM與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取AD中點 O，連接OP，OC，AC，證明OC⊥AD，OP⊥AD．推出AD⊥平面POC，即可在，PC⊥AD．
（II）證明PO⊥平面ABCD．說明PO為三棱錐P-ACD的高．求出△PAC的面積，設(shè)點D到平面 PAC的距離為h，由V_D-PAC=V_P-ACD，求出點D到平面PAC的距離，然后求解直線DM與平面PAC所成的角的正弦值．

解答 解：（I）證明：取AD中點 O，連接OP，OC，AC，
由題意可知△PAD，△ACD均為正三角形．
所以 OC⊥AD，OP⊥AD．
又 OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面 POC，
所以 AD⊥平面POC，
又 PC?平面POC，
所以 PC⊥AD．…（4分）
（II）由（1）可知 PO⊥AD，
又平面 PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以 PO⊥平面ABCD．即 PO為三棱錐P-ACD的高．
在Rt△P OC中，${P}{O}={O}C=\sqrt{3}$，${P}C=\sqrt{6}$，
在△P AC中，P A=AC=2，${P}C=\sqrt{6}$，
邊 PC上的高${A}{M}=\sqrt{{P}{{A}^2}-{P}{{M}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
所以△PAC的面積${S_{△{P}{A}C}}=\frac{1}{2}{P}C•{A}{M}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{\sqrt{10}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．
設(shè)點D到平面 PAC的距離為h，由V_D-PAC=V_P-ACD得，
$\frac{1}{3}{S_{△{P}{A}C}}•h=\frac{1}{3}{S_{△{A}CD}}•{P}{O}$，又${S_{△{A}CD}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{2}×h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．
故點D到平面PAC的距離為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．         …（10分）
設(shè)直線DM與平面PAC所成的角為θ
則$sinθ=\frac{h}{DM}=\frac{{\frac{{2\sqrt{15}}}{5}}}{{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
所以直線DM與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…（12分）．

點評 本題考查直線與平面市場價的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．