Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，離心率為e，半長軸長為a．
（1）若焦距長2c=2，且1、e、

1

4

成等比數(shù)列，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l：ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M、N 兩點，p是直線l與橢圓C的一個交點，且

MP

=λ

MN

，求λ的值；
（3）若不考慮（1），在（2）中，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得2c=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則

y= 1 2 x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得P(-1，

3

2

)．由此利用已知條件能求出λ．
（3）因為M、N的坐標分別為（-

a

e

，0）、（0，a），由

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，得P（-c，

b2

a

）．由

MP

=λ

MN

，得λ=1-e²．由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵焦距長2c=2，且1、e、

1

4

成等比數(shù)列，∴e²=

1

4

，
解得e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，b=

3

，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…..（4分）
（2）設(shè)P（x，y），則

y= 1 2 x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得P(-1，

3

2

)．
∵M（-4，0），N（0，2），

MP

=λ

MN

，
∴（3，

3

2

）=λ（4，2）=（4λ，2λ），
解得λ=

3

4

．…（8分）
（3）因為M、N的坐標分別為（-

a

e

，0）、（0，a），
由

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，解得

x=-c y= b2 a

，（其中c=

a2-b2

），
所以P（-c，

b2

a

）．
由

MP

=λ

MN

，得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a），
所以

a e -c=λ• a e b2 a =λa

，所以λ=1-e²．
因為e∈（0，1），所以1-e²∈（0，1）．
故λ的取值范圍是（0，1）．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．