Question

8．已知遞增數(shù)列{a_n}、{b_n}分別滿足：
a₁=1，$\sqrt{n}$a_n+1=$\sqrt{n+1}$a_n，b₁=1，$_{n+1}^{2}$+$_{n}^{2}$+1=2（b_n+1b_n+b_n+1+b_n），（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求證：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{n}$a_n+1=$\sqrt{n+1}$a_n，得到na_n+1²=（n+1）a_n²，得到（n-1）a_n²=na_n-1²，相減得到a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²，于是得到數(shù)列{a_n²}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
由b₁=1，$_{n+1}^{2}$+$_{n}^{2}$+1=2（b_n+1b_n+b_n+1+b_n），分別令n=1，2求出b₂=4=2²，b₃=9=3²，可以猜想b_n=n²，用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，
（2）先求出c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\sqrt{n}}{{n}^{2}}$=${n}^{-\frac{3}{2}}$，得到S_n=${1}^{-\frac{3}{2}}$+${2}^{-\frac{3}{2}}$+${3}^{-\frac{3}{2}}$+…+${n}^{-\frac{3}{2}}$，利用放縮法，和等比數(shù)列的前n項和公式即可證明．

解答 解：（1）∵$\sqrt{n}$a_n+1=$\sqrt{n+1}$a_n，
∴na_n+1²=（n+1）a_n²，
∴（n-1）a_n²=na_n-1²，
∴na_n+1²-（n-1）a_n²=（n+1）a_n²-na_n-1²，
∴a_n+1²-a_n²=a_n²-a_n-1²，
∵a₁=1，
∴a₂²=2a₁²=2，
∴a₂²-a₁²=1，
∴數(shù)列{a_n²}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n²=n，
∴a_n=$\sqrt{n}$；
對于$_{n+1}^{2}$+$_{n}^{2}$+1=2（b_n+1b_n+b_n+1+b_n），b₁=1，{b_n}為遞增數(shù)列
當(dāng)n=1時，b₂²+b₁²+1=2（b₂b₁+b₂+b₁），
∴b₂（b₂-4）=0，
∴b₂=4=2²，
當(dāng)n=2時，b₃²+b₂²+1=2（b₃b₂+b₃+b₂），
∴（b₃-1）（b₃-9）=0，
∴b₃=9=3²，
可以猜想b_n=n²，
用數(shù)學(xué)歸納法法證明，理由如下
①當(dāng)n=1時，猜想成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，即b_k=k²，
那么當(dāng)n=k+1時，b_k+1²+b_k²+1=2（b_k+1b_k+b_k+1+b_k），
即b_k+1²-2（k²+1）b_k+1+（k²-1）²=0
即[b_k+1-（k+1）²][b_k+1-（k-1）²]=0，
∴b_k+1=（k+1）²，
即當(dāng)n=k+1時猜想成立，
由①②可得，b_n=n²對n∈N^*都成立．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{\sqrt{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{3}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n•{n}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）（n-1）}}$=（$\frac{1}{\sqrt{n（n-1）}}$-$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$）$\frac{1}{\sqrt{n-1}•\sqrt{n+1}}$=（$\frac{1}{\sqrt{n（n-1）}}$-$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$）•$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{2}$
＜$\frac{1}{\sqrt{n（n-1）}}$-$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$，（n≥2）
∴S_n＜1+$\frac{1}{\sqrt{2×1}}$-$\frac{1}{\sqrt{3×2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3×2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3×4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n（n-1）}}$-$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜3，
顯然當(dāng)n=1時，S₁＜3成立，
綜上所述：S_n＜3．

點評 本題考查了通過數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式和數(shù)學(xué)歸納法，以及利用放縮法證明不等式成立，屬于難題．