Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-1，x∈[-2，0）∪（0，2]的最大值為M，最小值為m，則M+m=-2．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）+1=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，設(shè)g（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，則函數(shù)g（x）是定義域[-2，0）∪（0，2]上的奇函數(shù)；由f（x）的最大值與最小值，得出g（x）的最大值與最小值，由此求出M+m的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$-1，
∴f（x）+1=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$
設(shè)g（x）=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）^{2}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，則函數(shù)g（x）是定義域[-2，0）∪（0，2]上的奇函數(shù)；
又f（x）的最大值為M，最小值為m，
∴g（x）的最大值是M+1，最小值是m+1；
∴（M+1）+（m+1）=0，
則M+m=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與最值的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．