【題目】如圖所示多面體,其底面為矩形且,四邊形為平行四邊形,點(diǎn)在底面內(nèi)的投影恰好是的中點(diǎn).
(1)已知為線段的中點(diǎn),證明:平面;
(2)若二面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連結(jié)交于,連結(jié)由三角形中位線定理可得,可得平面,可證明平面,從而平面平行于平面平面;(2)以的中點(diǎn)為原點(diǎn),以、的垂直平分線、為坐標(biāo)軸,建立如空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求出平面的法向量與平面的法向量,由二面角大小為,利用空間向量夾角余弦公式求出,求出的坐標(biāo),由夾角公式可得結(jié)果.
(1)連結(jié)交于,連結(jié)為的中位線,
平面,而平面平面.
又知平面平面平面,
相交,由它們確定的平面平行于平面
平面平面.
(2)以的中點(diǎn)為原點(diǎn),以的垂直平分線、為坐標(biāo)軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其余各點(diǎn)分別是:
,所以
又設(shè)平面的法向量為.
由
令,得
易得平面的法向量為
因?yàn)槎娼?/span>大小為.所以由,
解得.
且
故直線與平面
所成角的正弦為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正三角形的邊長(zhǎng)為,將它沿高折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,則四面體外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
1當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
2若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)(,,,)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將()的圖象上的所有的點(diǎn)( )
A. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變
B. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
C. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變
D. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某部門(mén)經(jīng)統(tǒng)計(jì),客戶對(duì)不同款型理財(cái)產(chǎn)品的最滿意程度百分比和對(duì)應(yīng)的理財(cái)總銷售量(萬(wàn)元)如下表(最滿意度百分比超高時(shí)總銷售量最高):
產(chǎn)品款型 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
最滿意度% | 20 | 34 | 25 | 19 | 26 | 20 | 19 | 24 | 19 | 13 |
總銷量(萬(wàn)元) | 80 | 89 | 89 | 78 | 75 | 71 | 65 | 62 | 60 | 52 |
設(shè)表示理財(cái)產(chǎn)品最滿意度的百分比,為該理財(cái)產(chǎn)品的總銷售量(萬(wàn)元).這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.
(1)在份款型理財(cái)產(chǎn)品的顧客滿意度調(diào)查資料中任取份;只有一份最滿意的,求含有最滿意客戶資料事件的概率.
(2)我們約定:相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在以下是無(wú)線性相關(guān),在以上(含)至是一般線性相關(guān),在以上(含)是較強(qiáng)線性相關(guān),若沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)則采取“末位”剔除制度(即總銷售量最少的那一款產(chǎn)品退出理財(cái)銷售);試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程(系數(shù)精確到).
數(shù)據(jù)參考計(jì)算值:
項(xiàng)目 |
|
|
|
| ||
值 | 21.9 | 72.1 | 288.9 | 37.16 | 452.1 | 17.00 |
附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為:
線性相關(guān)系數(shù) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】鄭汴一體化是依托鄭州省會(huì)城市資源優(yōu)勢(shì)發(fā)展開(kāi)封的省級(jí)戰(zhàn)略,實(shí)施至今,取得了一系列的成就:兩城電信同價(jià),金融同城,鄭開(kāi)大道全線貫通,城際列車實(shí)常態(tài)化運(yùn)營(yíng).隨著鄭汴一體化的深入推進(jìn),很多人認(rèn)為鄭州開(kāi)封未來(lái)有望合并.為了解市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度,現(xiàn)隨機(jī)抽查55人,結(jié)果按年齡分類統(tǒng)計(jì)形成如下表格:
支持 | 反對(duì) | 合計(jì) | |
不足35歲 | 20 | ||
35歲以上 | 30 | ||
合計(jì) | 25 | 55 |
(1)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關(guān)?
(2)在上述樣木中用分層抽樣的方法,從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查,從這6人中任選2人,求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.814 | 5.024 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距為,點(diǎn)在橢圓上,且的最小值是(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知?jiǎng)又本與圓:相切,且與橢圓交于,兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,錯(cuò)誤命題是
A. “若,則”的逆命題為真
B. 線性回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心
C. 在平面直角坐標(biāo)系中到點(diǎn)和的距離的和為的點(diǎn)的軌跡為橢圓
D. 在銳角中,有
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