【題目】如圖所示多面體，其底面為矩形且，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在底面內(nèi)的投影恰好是的中點(diǎn).

（1）已知為線段的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連結(jié)交于，連結(jié)由三角形中位線定理可得，可得平面，可證明平面，從而平面平行于平面平面；（2）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以、的垂直平分線、為坐標(biāo)軸，建立如空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量與平面的法向量，由二面角大小為，利用空間向量夾角余弦公式求出，求出的坐標(biāo)，由夾角公式可得結(jié)果.

（1）連結(jié)交于，連結(jié)為的中位線，

平面，而平面平面.

又知平面平面平面，

相交，由它們確定的平面平行于平面

平面平面.

（2）以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以的垂直平分線、為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其余各點(diǎn)分別是：

，所以

又設(shè)平面的法向量為.

由

令，得

易得平面的法向量為

因?yàn)槎娼?/span>大小為.所以由，

解得.

且

故直線與平面

所成角的正弦為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】正三角形的邊長(zhǎng)為，將它沿高折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則四面體外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

1當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

2若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是函數(shù)（，，，）在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只需將（）的圖象上的所有的點(diǎn)（　　）

A. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變

B. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

C. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變

D. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某部門(mén)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，客戶對(duì)不同款型理財(cái)產(chǎn)品的最滿意程度百分比和對(duì)應(yīng)的理財(cái)總銷售量（萬(wàn)元）如下表（最滿意度百分比超高時(shí)總銷售量最高）：

產(chǎn)品款型

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

最滿意度%

20

34

25

19

26

20

19

24

19

13

總銷量（萬(wàn)元）

80

89

89

78

75

71

65

62

60

52

設(shè)表示理財(cái)產(chǎn)品最滿意度的百分比，為該理財(cái)產(chǎn)品的總銷售量（萬(wàn)元）.這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.

（1）在份款型理財(cái)產(chǎn)品的顧客滿意度調(diào)查資料中任取份；只有一份最滿意的，求含有最滿意客戶資料事件的概率.

（2）我們約定：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在以下是無(wú)線性相關(guān)，在以上（含）至是一般線性相關(guān)，在以上（含）是較強(qiáng)線性相關(guān)，若沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)則采取“末位”剔除制度（即總銷售量最少的那一款產(chǎn)品退出理財(cái)銷售）；試求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程（系數(shù)精確到）.

數(shù)據(jù)參考計(jì)算值：

項(xiàng)目

值

21.9

72.1

288.9

37.16

452.1

17.00

附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：

線性相關(guān)系數(shù) .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】鄭汴一體化是依托鄭州省會(huì)城市資源優(yōu)勢(shì)發(fā)展開(kāi)封的省級(jí)戰(zhàn)略，實(shí)施至今，取得了一系列的成就：兩城電信同價(jià)，金融同城，鄭開(kāi)大道全線貫通，城際列車實(shí)常態(tài)化運(yùn)營(yíng)．隨著鄭汴一體化的深入推進(jìn)，很多人認(rèn)為鄭州開(kāi)封未來(lái)有望合并．為了解市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度，現(xiàn)隨機(jī)抽查55人，結(jié)果按年齡分類統(tǒng)計(jì)形成如下表格：

支持

反對(duì)

合計(jì)

不足35歲

20

35歲以上

30

合計(jì)

25

55

（1）請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為市民對(duì)鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關(guān)？

（2）在上述樣木中用分層抽樣的方法，從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查，從這6人中任選2人，求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.814

5.024

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知?jiǎng)又本�與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題中，錯(cuò)誤命題是

A. “若，則”的逆命題為真

B. 線性回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心

C. 在平面直角坐標(biāo)系中到點(diǎn)和的距離的和為的點(diǎn)的軌跡為橢圓

D. 在銳角中，有

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