Question

3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6．
（1）求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式；
（2）當(dāng)a，b為何值時(shí)，t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$取得最小值，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）把（1）中a，b的關(guān)系式代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$，化為關(guān)于a的一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案．

解答 解：（1）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

由圖可知，當(dāng)直線z=ax+by過(guò)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值6，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（3，4），即3a+4b=6；
（2）將3a+4b=6代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$，得16t=11a²-12a+12（a＞0），
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=$\frac{12}{11}$時(shí)，16t的最小值為$\frac{4×11×12-1{2}^{2}}{4×11}=\frac{96}{11}$，
此時(shí)，b=$\frac{6-3a}{4}=\frac{30}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．