Question

3．設實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6．
（1）求實數a，b應滿足的關系式；
（2）當a，b為何值時，t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$取得最小值，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，數形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案；
（2）把（1）中a，b的關系式代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$，化為關于a的一元二次函數，利用二次函數的性質求得答案．

解答 解：（1）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

由圖可知，當直線z=ax+by過A時，目標函數取最大值6，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（3，4），即3a+4b=6；
（2）將3a+4b=6代入t=$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{^{2}}{3}$，得16t=11a²-12a+12（a＞0），
由一元二次函數的性質可知，當a=$\frac{12}{11}$時，16t的最小值為$\frac{4×11×12-1{2}^{2}}{4×11}=\frac{96}{11}$，
此時，b=$\frac{6-3a}{4}=\frac{30}{11}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．