Question

14．已知兩個不同集合A={1，3，a²-a+3}，B=（1，5，a³-a²-4a+7}，A∩B={1，3}．
（1）求實數a的值以及集合A和B；
（2）求滿足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的個數．

Answer 1

分析 （1）由A∩B={1，3}得：a³-a²-4a+7=3，解之得a=1，或a=-2或a=2．然后對a分類討論得答案；
（2）確定集合M的個數為2，即可求滿足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的個數．

解答 解：（1）由A∩B={1，3}得：a³-a²-4a+7=3，解之得a=1，或a=-2或a=2．
①a=1時，a²-a+3=3，與集合中元素的互異性矛盾，所以a≠1．
②當a=-2時，a²-a+3=9，A={1，3，9}，B={1，3，5}，A∩B={1，3}與題意相符．
③當a=2時，a²-a+3=5，A={1，3，5}，B={1，3，5}，A∩B={1，3，5}與A∩B={1，3}矛盾，所以a≠2；
（2）A∩B={1，3}，A∪B={1，3，5，9}
∵A∩B?M?A∪B，
∴集合M的個數為2，
∴滿足A∩B?M?A∪B的集合M的子集的個數是4．

點評 本題考查了交集及其運算，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．