Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x²+y²的最最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)z=y-x，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上，則此直線與圓相切時(shí)，z取最值，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求得z的值，即為所求．
（2）根據(jù)x²+y²表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）間的距離的平方，求出|CO|，再把|CO|加減半徑后平方，即得所求．

解答： 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0 即方程（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）為圓心、半徑等于

3

 的圓．
設(shè)z=y-x，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓（x-2）²+y²=1上，
使直線z=y-x在y軸上截距最大時(shí)，z取得最大值；
使直線z=y-x在y軸上截距最小時(shí)，z取得最小值．
則當(dāng)直線x-y+z=0與圓相切時(shí)，z取最值，∵圓心C（2，0），半徑r=

3

，
故當(dāng)z取得最值時(shí)，有

|2-0+z|

2

=

3

，解得z=±

6

-2，故z=y-x的最大值為

6

-2，z=y-x的最小值為-2-

6

．
（2）∵x²+y²表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)O（0，0）間的距離的平方．
∵CO=2，x²+y²的最小值為(CO-

3

)2=(2-

3

)2=7-4

3

，最大值為(CO+

3

)2=(2+

3

)2=7+4

3

．

點(diǎn)評(píng)：題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．