Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²（k∈R）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． k＜0
• B． k＜1
• C． 0＜k＜1
• D． k＞1

Answer 1

分析 分別畫出y=$\frac{|x|}{x+2}$與y=kx²的圖象如圖，再分類討論，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可求出．

解答 解：分別畫出y=$\frac{|x|}{x+2}$與y=kx²的圖象如圖所示，
當(dāng)k＜0時(shí)，y=kx²的開口向下，此時(shí)與y=$\frac{|x|}{x+2}$只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不符合題意，
當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)與y=$\frac{|x|}{x+2}$只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不符合題意，
當(dāng)k＞0時(shí)，x≥0時(shí)，
f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0，
即kx³+2k²-x=0，
即x（kx²+2kx-1）=0，即x=0，或kx²+2kx-1=0，
此時(shí)有唯一的解，即△=4k²+4k=0，解得k=-1（舍去），
當(dāng)k＞0時(shí)，x＜0時(shí)，
f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0，
即kx³+2k²+x=0，
kx²+2kx+1=0，
此時(shí)有兩個(gè)解，即△=4k²-4k＞0，解得k＞1，
綜上所述k＞1
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的問題，關(guān)鍵時(shí)分類討論，屬于中檔題．