Question

18．已知A（3，2）、B（-4，0），P是橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1上的一點(diǎn)，則|PA|+|PB|的最大值為10+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知B為橢圓的左焦點(diǎn)，A在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，借助于橢圓定義，把|PA|+|PB|的最大值轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)到A的距離與F距離差的最大值求解．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1，得a²=25，b²=9，則c²=16，
∴B（-4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)，
A（3，2）在橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1內(nèi)部，
如圖：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，

由題意定義可得：|PB|+|PF|=2a=10，
則|PB|=10-|PF|，
∴|PA|+|PB|=10+（|PA|-|PF|）．
連接AF并延長(zhǎng)，交橢圓與P，則此時(shí)|PA|-|PF|有最大值為|AF|=$\sqrt{（3-4）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴|PA|+|PB|的最大值為10+$\sqrt{5}$．
故答案為：10+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．