Question

17．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）．
（1）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若b=1，對(duì)任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立，則a的范圍；
（3）若b=1，對(duì)任意a∈[2，3]，g（x）≥0恒成立，則x的范圍；
（4）在（1）的條件下記f（x）=g（|x|），若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸判斷g（x）在區(qū)間[2，3]上為單調(diào)增函數(shù)，列出等式即可；
（2）對(duì)任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax²-2ax+2≥0⇒a≤-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$；
（3）由題意g（x）=ax²-2ax+2=（x²-2x）a+2≥0；令h（a）═（x²-2x）a+2，即轉(zhuǎn)為關(guān)于a的一次函數(shù)求解；
（4）由（1）知g（x）=x²-2x+1；f（x）=g（|x|）=|x|²-2|x|+1，f（2）=1當(dāng)f（x）＞1時(shí)，解得x＞2或x＜-2；要使得f（log₂k）＞3，即：log₂k＞2或log₂k＜-2；

解答 解：（1）由題意知，g（x）的對(duì)稱軸為：x=1，開口朝上；
g（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，故有$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+1+b=1}\\{9a-6a+1+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$ 
（2）由b=1知，g（x）=ax²-2ax+2；
對(duì)任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax²-2ax+2≥0⊕；
∴x∈[1，2）∴-1≤x²-2x＜0；
化簡(jiǎn)⊕后：a≤-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$，令h（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}-x}$，即h（x）在x∈[1，2）上的最小值h（-1）=2；
∴a≤2；
（3）由b=1知，g（x）=ax²-2ax+2=（x²-2x）a+2≥0；
令h（a）═（x²-2x）a+2?；
①當(dāng)x²-2x=0，即 x=0或2，?式在a∈[2，3]時(shí)成立；
②當(dāng)x²-2x＞0時(shí)，即x＜0或x＞2，h（a）在[2，3]是增函數(shù)，需h（2）≥0⇒（x²-2x）×2+2≥0
解得：x＜0或x＞2
③當(dāng)x²-2x＜0 時(shí)，即0＜x＜2，h（a）在[2，3]上是減函數(shù)，需h（3）≥0⇒（x²-2x）×3+2≥0
解得：0＜x≤1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x＜2
綜上所述：x≤1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或≥1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（4）由（1）知g（x）=x²-2x+1；
f（x）=g（|x|）=|x|²-2|x|+1，f（2）=1
當(dāng)f（x）＞1時(shí)，解得x＞2或x＜-2
要使得f（log₂k）＞3，即：log₂k＞2或log₂k＜-2
解得：k＞4或k＜$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想、分類參數(shù)求最值以及偶函數(shù)性質(zhì)等綜合知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．