Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-3）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（0，3）．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），可得xf′（x）+f（x）＜0，因此F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，函數(shù)F（x）在x∈（-∞，0]上單調(diào)遞減．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得F（x）是R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)F（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：∵當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），∴xf′（x）+f（x）＜0，
F（x）=xf（x），F(xiàn)′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函數(shù)F（x）在x∈（-∞，0]上單調(diào)遞減，
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴F（x）是R上的偶函數(shù)，∴函數(shù)F（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵F（3）＞F（2x-3），∴|2x-3|＜3，
解得0＜x＜3．
的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（0，3）．
故答案為：（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．