Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ，當(dāng)n=1時，上式成立，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$×3²-$\frac{3}{2}$=3，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$）=3ⁿ，
當(dāng)n=1時，上式成立，
∴a_n=3ⁿ；
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=b_n+b_n+…+b_n，
=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2n}{n+1}$，．

點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查利用“裂項法”求數(shù)列前n項和的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．