Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線x²-

y2

3

=1的漸近線的距離為

3

，過焦點(diǎn)F斜率為k的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且

AF

=2

FB

，則|k|=（　　）

• A、2

  2

• B、

  2 2

  3

• C、

  2

  4

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),拋物線的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)拋物線C的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線距離求出p的值，
再利用直線方程與拋物線C的方程聯(lián)立，消去x，求出y的值，
利用

AF

=2

FB

，得出y_A與y_B的關(guān)系式，從而求出k的值．

解答： 解：根據(jù)題意，得；
拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），
且F到雙曲線x²-

y2

3

=1的漸近線y=±

3

x的距離為

3

，
∴

p 2 • 3

( 3 )2+12

=

3

，
解得p=4；
∴過焦點(diǎn)F斜率為k的直線為y=k（x-2），
與拋物線C：y²=8x聯(lián)立，得：

y=k(x-2) y2=8x

，
消去x，得y²=8（

y

k

+2），
整理，得ky²-8y-16k=0，
解得y=

4±4 k2+1

k

；
又∵

AF

=2

FB

，
∴（4-x_A，-y_A）=2（x_B-4，y_B），
∴y_A=-2y_B；
當(dāng)k＞0時，y_A＞0，y_B＜0，
∴

4+4 k2+1

k

=2•（-

4-4 k2+1

k

），
解得k=2

2

；
當(dāng)k＜0時，y_A＜0，y_B＞0，
∴-

4+4 k2+1

k

=2•

4-4 k2+1

k

，
解得k=-2

2

；
∴|k|=2

2

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，也考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，是較難的題目．