【題目】四邊形為某橢圓的內(nèi)接矩形的充要條件是：它的四個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的同心圓與它的四個(gè)交點(diǎn).

【答案】見解析

【解析】

充分性：設(shè)、、、為橢圓與它的某個(gè)同心圓的交點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸. 因?yàn)?/span>過圓心，所以，是圓的對(duì)稱軸. 于是，整個(gè)圖形關(guān)于對(duì)稱成軸對(duì)稱. 故四邊形的一組對(duì)邊與垂直. 同理可證，四邊形的另一組對(duì)邊與橢圓的短軸垂直. 因此，四邊形是矩形.

必要性：設(shè)四邊形是橢圓的內(nèi)接矩形. 先證明四邊形的邊與橢圓的對(duì)稱軸平行.

實(shí)際上，作矩形的對(duì)稱軸交橢圓于點(diǎn)、. 將橢圓沿翻轉(zhuǎn)得到橢圓，則與有6個(gè)不同的交點(diǎn)、、、、、. 所以，與重合，即是橢圓的對(duì)稱軸. 因?yàn)榫匦?/span>的一組對(duì)邊與平行，所以，四邊形的一組對(duì)邊與橢圓的對(duì)稱軸平行. 不妨設(shè)與橢圓的長(zhǎng)軸平行. 由于橢圓關(guān)于其短軸對(duì)稱，所以，. 由充分性的證明可知，以為半徑的橢圓的同心圓與橢圓交成一個(gè)矩形，此矩形以為一條邊. 但過點(diǎn)且與垂直的直線是唯一的，從而，以為一邊的橢圓的內(nèi)接矩形也是唯一的.

故、、、是橢圓的同心圓與橢圓的交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

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若點(diǎn)，求的最大值．

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A. 134 B. 67 C. 200 D. 250

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質(zhì)量指標(biāo)值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（II）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

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（2）求過點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線方程.

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