Question

19．若m＞0，曲線f（x）=2mx+$\frac{1}{2}$x²與曲線g（x）=n+3m²lnx在交點處有相同的切線，則n的最大值為$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 設出兩曲線的公共點坐標，分別求出f（x）和g（x）的導函數(shù)，把設出點的坐標代入兩導函數(shù)中得到兩關系式，聯(lián)立兩關系式即可解出公共點的橫坐標，把求出的橫坐標代入得到用m表示出n的式子，設h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求出h（t）的最大值即為n的最大值．

解答 解：設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
f（x）=2mx+$\frac{1}{2}$x²的導數(shù)為f'（x）=x+2m，
g（x）=n+3m²lnx的導數(shù)為g′（x）=$\frac{3{m}^{2}}{x}$，
由題意f（x₀）=g（x₀），f'（x₀）=g'（x₀）．
即2mx₀+$\frac{1}{2}$x₀²=3m²lnx₀+n，x₀+2m=$\frac{3{m}^{2}}{{x}_{0}}$，
由x₀+2m=$\frac{3{m}^{2}}{{x}_{0}}$，解得x₀=m，或x₀=-3m（舍去）．
即有n=$\frac{1}{2}$m²+2m²-3m²lnm=$\frac{5}{2}$m²-3m²lnm，
令h（t）=$\frac{5}{2}$t²-3t²lnt（t＞0），則h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e${\;}^{\frac{1}{3}}$時，h'（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞e${\;}^{\frac{1}{3}}$時，h'（t）＜0．
故h（t）在（0，e${\;}^{\frac{1}{3}}$）為增函數(shù)，在（e${\;}^{\frac{1}{3}}$，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e${\;}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{5}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$-e${\;}^{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
則n的最大值為$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查轉(zhuǎn)化思想的運用和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．