Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1）+1，}&{x≥0}\\{lg（1-x）+1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，若不等式f（ax-1）＞f（x-2）在[3，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為a＞$\frac{2}{3}$或a＜0．

Answer 1

分析 由已知，得到x-2∈[1，2]，滿足第一段的范圍，又不等式有解，由此將不等式轉(zhuǎn)化為f（ax-1）＞1+lg2，進一步討論ax-1的范圍，解對數(shù)不等式即可．

解答 解：因為不等式f（ax-1）＞f（x-2）在[3，4]上有解，所以x-2∈[1，2]，
∴f（ax-1）＞[lg（x-1）+1]_min=1+lg2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-1≥0}\\{lg（ax）+1＞1+lg2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-1＜0}\\{lg（2-ax）+1＞1+lg2}\end{array}\right.$，
解得ax＞2或ax＜0，
∴a＞$\frac{2}{3}$或a＜0．

點評 本題考查了分段函數(shù)以及對數(shù)不等式的解法；關(guān)鍵是將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體的對數(shù)不等式．