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8.已知a,b,c為正實數(shù),給出以下結(jié)論:
①若a-2b+3c=0,則2ac的最小值是3;
②若a+2b+2ab=8,則a+2b的最小值是4;
③若a(a+b+c)+bc=4,則2a+b+c的最小是23;
④若a2+b2+c2=4,則ab+bc的最大值是22
其中正確結(jié)論的序號是①②④.

分析 變形,利用基本不等式,分別進(jìn)行判斷,即可得出結(jié)論.

解答 解:①若a-2b+3c=0,則2b=a+3c≥23ac,∴b2≥3ac,∴2ac≥3,∴2ac的最小值是3,正確;
②設(shè)t=a+2b,則t>0,由a+2b+2ab=8得2ab=8-(a+2b)≤a+2b22,即8-t≤t24,整理得t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),即a+2b≥4,所以a+2b的最小值是4.正確;
③∵a,b,c>0,∴a+c>0,a+b>0,∵a(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)=4,∴2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2a+ca+b=4,∴2a+b+c的最小值為4,不正確;
④若a2+b2+c2=4,則4=a2+12b2+12b2+c22ab+2bc,∴ab+bc≤22,∴ab+bc的最大值是22,正確
綜上所述,正確結(jié)論的序號是①②④.
故答案為:①②④.

點評 本題考查基本不等式的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運用基本不等式是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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