Question

有下列命題：
①關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)a=-1；
②已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p：存在x∈R，使得sinx＞1；
③函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
④函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點（-1，1）對稱．
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①當a≠0時，由△=0，解得a=-1，而a=0不滿足題意，即可判斷出；
②利用命題的否定即可判斷出；
③利用誘導(dǎo)公式可得函數(shù)y=

1

2

cos2x，即可得出相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

；
④函數(shù)y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，1）對稱．

解答： 解：①關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)a=-1，正確，當a≠0時，由△=0，解得a=-1，而a=0不滿足題意；
②命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p：存在x∈R，使得sinx＞1，正確；
③函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x的圖象中，∴相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，因此不正確；
④函數(shù)y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，1）對稱，因此不正確．
其中所有真命題的序號是①②．
故答案為：①②．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于中檔題．