Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-a（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，求實數(shù)a的值；
（2）解不等式f（x）＞1（用a表示）
（3）若x＞1時，恒有f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a•（-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{2a}-a=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）分類討論，從而解不等式f（x）＞1；
（3）分類討論，從而分別判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)并判斷，從而求得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a•（-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{2a}-a=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，
解得，a=-2或a=-$\frac{1}{8}$；
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=x＞1；
當(dāng)a＞0時，ax²+x-a＞1，
即（x-1）（ax+a+1）＞0；
故x＞1或x＜-$\frac{a+1}{a}$=-1-$\frac{1}{a}$；
當(dāng)a＜0時，ax²+x-a＞1，
即a（x-1）（x+$\frac{a+1}{a}$）＞0，
即（x-1）（x+$\frac{a+1}{a}$）＜0；
當(dāng)-1=$\frac{a+1}{a}$，即a=-$\frac{1}{2}$時，不等式無解；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，$\frac{a+1}{a}$＜-1，
故1＜x＜-$\frac{a+1}{a}$；
當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$時，$\frac{a+1}{a}$＞-1，
故-$\frac{a+1}{a}$＜a＜1；
（3）當(dāng)a=0時，f（x）＞0在x＞1時恒成立；
當(dāng)a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a+1-a≥0}\end{array}\right.$，
解得，a＞0；
故a≥0．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與不等式的關(guān)系應(yīng)用及恒成立問題與最值問題的應(yīng)用．