Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A，B，C都是拋物線上的點(diǎn)，滿足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，則k_AB+k_BC+k_AC=（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、1
• D、不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），依題意，知F為三角形ABC的重心，于是有

x1+x2+x3

3

=0，利用“點(diǎn)差法”可求得k_AB=

x1+x2

2p

，k_BC=

x2+x3

2p

，k_AC=

x1+x3

2p

，從而可得答案．

解答： 解：∵拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，

p

2

），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），因向量

FA

+

FB

+

FC

=

0

，則F為三角形ABC的重心．
故

x1+x2+x3

3

=0，

y1+y2+y3

3

=

p

2

，
又x12=2py₁，x22=2py₂，
兩式相減，得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂），
所以，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2p

；
同理可得，k_BC=

x2+x3

2p

，k_AC=

x1+x3

2p

，
所以，k_AB+k_BC+k_AC=

2(x1+x2+x3)

2p

=0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查“點(diǎn)差法”與三角形的“重心”的坐標(biāo)表示，求得k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2p

是關(guān)鍵，是好題．