Question

如圖，在C城周邊已有兩條公路l₁，l₂在點O處交匯，且它們的夾角為75°．已知OC=（

2

+

6

） km，OC與公路l₁的夾角為45°．現(xiàn)規(guī)劃在公路l₁，l₂上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城．設(shè)OA=x km，OB=y km．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出它的定義域；
（2）試確定點A，B的位置，使△OAB的面積最�。�

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應用題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積可得

1

2

x（

2

+

6

）sin45°+

1

2

y（

2

+

6

）sin30°=

1

2

xysin75°，從而求得y=

2 2 x

x-2

（x＞2）．
（2）△AOB的面積S=

1

2

xysin75°=

3 +1

2

•（（x-2）+

4

x-2

+4）；利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）因為△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，
所以

1

2

x（

2

+

6

）sin45°+

1

2

y（

2

+

6

）sin30°=

1

2

xysin75°，
即

2

2

x（

2

+

6

）+

1

2

y（

2

+

6

）=

6 + 2

4

xy，
所以y=

2 2 x

x-2

（x＞2）．
（2）△AOB的面積S=

1

2

xysin75°
=

1

2

•x•

2 2 x

x-2

•sin75°
=

3 +1

2

•

x2

x-2

=

3 +1

2

•（（x-2）+

4

x-2

+4）
≥

3 +1

2

×8=4（

3

+1），
當且僅當x-2=

4

x-2

，即x=4時取等號，
此時y=

2 2 ×4

4-2

=4

2

．
故當OA=4km，OB=4

2

 km時，△OAB的面積最小，最小值為4（

3

+1）km²．

點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用，同時考查了基本不等式，屬于中檔題．