Question

已知⊙O：x²+y²=1，點(diǎn)S（2，m）（m≠0）是直線l：x=2上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O與x軸的交點(diǎn)分別為A、B．連接SA交⊙O于點(diǎn)M，連接SB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)N，連接MB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)T．
（1）證明：A，N，T三點(diǎn)共線；
（2）證明：直線MN必過一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,作圖題,證明題,直線與圓

分析：（1）如圖，S（2，m），A（-1，0），B（1，0）；從而表示出直線SA，直線SB的方程，與圓的方程聯(lián)立求M，N的坐標(biāo)，再寫出直線MB的方程，從而求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，再求AN，AT的斜率，判斷斜率相等即可；
（2）由題意寫出直線MN的方程y+

2m

m2+1

=

6m 9+m2 + 2m m2+1

-1+ 18 9+m2 -1+ 2 m2+1

（x-1+

2

m2+1

）；化簡(jiǎn)y+

2m

m2+1

=

4m

3-m2

（x-1+

2

m2+1

）；再化簡(jiǎn)y=

4m

3-m2

（x+

1-m2

m2+1

）-

2m

m2+1

=

4m

3-m2

（x+

1-m2

m2+1

-

2m

m2+1

•

3-m2

4m

）=

4m

3-m2

（x-

1

2

）；從而得證．

解答： 證明：（1）如圖，S（2，m），A（-1，0），B（1，0）；
則直線SA：y=

m

3

（x+1），與圓的方程x²+y²=1聯(lián)立消元可得，
（9+m²）x²+2m²x+m²-9=0，
解得，x=-1或x=-1+

18

9+m2

；
故y=

m

3

（-1+

18

9+m2

+1）=

6m

9+m2

；
即M（-1+

18

9+m2

，

6m

9+m2

）；
直線SB：y=m（x-1），與圓的方程x²+y²=1聯(lián)立消元可得，
（1+m²）x²-2m²x+m²-1=0，
解得，x=1或x=1-

2

m2+1

；
故y=m（1-

2

m2+1

-1）=-

2m

m2+1

；
即N（1-

2

m2+1

，-

2m

m2+1

）；
直線MB：y=

6m 9+m2

-1+ 18 9+m2 -1

（x-1），
代入x=2得，
y=

6m 9+m2

-1+ 18 9+m2 -1

=-

3

m

，
即T（2，-

3

m

）；
故k_AN=

- 2m m2+1

1- 2 m2+1 +1

=-

1

m

；
k_AT=

- 3 m -0

3

=-

1

m

；
故A，N，T三點(diǎn)共線；
（2）直線MN的方程為：
y+

2m

m2+1

=

6m 9+m2 + 2m m2+1

-1+ 18 9+m2 -1+ 2 m2+1

（x-1+

2

m2+1

）；
即y+

2m

m2+1

=

4m

3-m2

（x-1+

2

m2+1

）；
y=

4m

3-m2

（x+

1-m2

m2+1

）-

2m

m2+1

=

4m

3-m2

（x+

1-m2

m2+1

-

2m

m2+1

•

3-m2

4m

）
=

4m

3-m2

（x-

1

2

）；
故直線MN必過定點(diǎn)（

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，化簡(jiǎn)很困難，屬于難題．