Question

19．已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f（x）=$\frac{2x-k}{{{x^2}+1}}$的定義域為[x₁，x₂]，當(dāng)x₂=1時，f（x）≤2恒成立，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． [-2，+∞）
• C． （1，2）
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}）$

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，得出f′（x）＞0恒成立，f（1）為最大值，列不等式f（1）≤2，解出k的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x-k}{{{x^2}+1}}$，
∴f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}+1）-（2x-k）•2x}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}+2kx+2}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-{4x}^{2}+4kx+4}{{2{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
因為x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，
顯然x₁≤x≤x₂時，4x²-4kx-1≤0，
∴4x²-4kx-4≤-3，
∴f′（x）＞0恒成立，
f（1）為最大值．從而f（1）≤2，
即$\frac{2-k}{1+1}$≤2，解得k≥-2．
故選：B．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和方程與不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．