Question

4．已知拋物線x²=8y與雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線交于點(diǎn)A，若點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，代入拋物線的方程可得A的坐標(biāo)，求得拋物線的準(zhǔn)線方程，由題意可得$\frac{8{a}^{2}}{^{2}}$+2=4，即為b=2a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，可得所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
代入拋物線的方程x²=8y，可得x=$\frac{8a}$，
交點(diǎn)A（$\frac{8a}$，$\frac{8{a}^{2}}{^{2}}$），
拋物線x²=8y的準(zhǔn)線為y=-2，
由點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，
可得$\frac{8{a}^{2}}{^{2}}$+2=4，
即為b=2a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用交點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．