Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°．側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求三棱錐G-CDP的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，由已知得△ABD為正三角形，BG⊥AD，由此能證明BG⊥平面PAD．
（2）由已知得PG⊥AD，PG⊥平面ABCD，由V_G-CDP=V_P-CDG，利用等積法能求出三棱錐G-CDP的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)BD．
因為ABCD為棱形，且∠DAB=60°，所以△ABD為正三角形．（1分）
又G為AD的中點(diǎn)，所以BG⊥AD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，（3分）
∴BG⊥平面PAD．（4分）
（2）解：因為G為正三角形PAD的邊AD的中點(diǎn)，所以PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PG⊥平面ABCD．（5分）
因為正三角形PAD的邊長為2，所以PG=

3

．（6分）
在△CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，
所以S_△CDG=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．（7分）
故V_G-CDP=V_P-CDG=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．（8分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．