【題目】已知函數(shù)(且, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0,且有極小值,
求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng) 時(shí),若不等式: 在區(qū)間內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(Ⅰ)(﹣∞,0); (Ⅱ)1+e
【解析】試題分析:
(1)首先求解導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,0);
(2)不等式等價(jià)于xf(x)﹣m(x﹣1)>e,構(gòu)造新函數(shù)h(x)=lnx+ex﹣m(x﹣1) ,結(jié)合題意討論新函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的最大值為1+e.
試題解析:
(Ⅰ) ,
∵f′(e)=0,∴b=0,則
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)在(0,e)內(nèi)大于0,在(e,+∞)內(nèi)小于0,
∴f(x)在(0,e)內(nèi)為增函數(shù),在(e,+∞)內(nèi)為減函數(shù),即f(x)有極大值而無極小值;
當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(0,e)內(nèi)為減函數(shù),在(e,+∞)內(nèi)為增函數(shù),
即f(x)有極小值而無極大值.
∴a<0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,0);
(Ⅱ)xf(x)>e+m(x﹣1)xf(x)﹣m(x﹣1)>e,
當(dāng) a=1,b=﹣1 時(shí),設(shè)h(x)=xf(x)﹣m(x﹣1)=lnx+ex﹣m(x﹣1).
則h′(x)= .
令t(x)=h′(x)= .
∵x>1,∴t′(x)= .
∴h′(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>h′(1)=1+e﹣m.
①當(dāng)1+e﹣m≥0時(shí),即m≤1+e時(shí),h′(x)>0,
∴h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x>1時(shí),h(x)>h(1)=e恒成立;
②當(dāng)1+e﹣m<0時(shí),即m>1+e時(shí),h′(x)<0,
∴存在x0∈(1,+∞),使得h′(x0)=0.∴h(x)在區(qū)間(1,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,
在(x0 , +∞)內(nèi)單調(diào)遞增.由h(x0)<h(1)=e,
∴h(x)>e不恒成立.綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,1+e].
∴實(shí)數(shù)m的最大值為:1+e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ()
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)()有最小值.記的最小值為,求的值域;
(Ⅲ)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn), (),求的取值范圍,并比較與0的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)A(a,a)可作圓x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.a<﹣3或a>1
B.a<
C.﹣3<a<1 或a>
D.a<﹣3或1<a<
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)對(duì)任意x∈R,都有f(﹣x)+f(x)=0,f(x)+f(x+ )=0,則f( )=( )
A.0
B.1
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,若按的可靠性要求,并據(jù)此資料,你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求分布列,期望和方差.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量 =(sinx,cosx), =(cosx,sinx),x∈R,函數(shù)f(x)= ( ﹣ ).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[- , ]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,其成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)依據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(2)已知在[90,100]段的學(xué)生的成績都不相同,且都在94分以上,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣方法,從95,96,97,98,99,100這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù),求這2個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù)的是( )
A.y=﹣|x﹣1|
B.y=ex
C.y=ln(x+1)
D.y=﹣x(x+2)
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