Question

2．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；
（3）函數(shù)f（x）圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得到？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期公式可求最小正周期，由 2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即得單調(diào)減區(qū)間．
（2）列表，令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$分別等于0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求得對應(yīng)的x，y值，以這五對x，y值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出，用平滑曲線連接，即得它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象．
（3）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），再把各點(diǎn)向上平移3個(gè)單位，即得函數(shù)y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的圖象．

解答 解：（1）T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，由 2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，可得  4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，
故單調(diào)增區(qū)間為[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈z．
（2）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2 π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3	3	6	3	0	3

描點(diǎn)，連線，作圖如下：

（3）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），
再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），再把各點(diǎn)向上平移3個(gè)單位，即得函數(shù)y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$ ）+3的圖象．

點(diǎn)評 本題考查用五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+∅）+b的圖象，以及此函數(shù)的性質(zhì)、圖象變換，用五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+∅）+b的圖象，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．