Question

把一個(gè)周長(zhǎng)為18cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱．
（1）求圓柱的體積V（x）關(guān)于圓柱底面周長(zhǎng)x的函數(shù)，并指出定義域；
（2）當(dāng)圓柱的體積V（x）最大時(shí)，求圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)圓的周長(zhǎng)表示出半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式，求出體積即可，根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義求出定義域，
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出圓柱的體積的最大值時(shí)x的值，即可求出圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比值．

解答： 解：（1）因?yàn)閳A柱底面周長(zhǎng)x為長(zhǎng)方形一條邊長(zhǎng)，
所以圓柱的高是另一邊長(zhǎng)為（

18

2

-x）=（9-x），
因?yàn)樵O(shè)圓柱的底面半徑為r，
則2πr=x，
解得r=

x

2π

，
所以V（x）=π(

x

2π

)2•（9-x）=

1

4π

（9x²-x³），定義域?yàn)椋?，9），
（2）V′（x）=

1

4π

（18x-3x²），
令V′（x）=0，解得x=6，
當(dāng)V′（x）＞0，即0＜x＜6時(shí)，函數(shù)遞增，
當(dāng)V′（x）＜0，即6＜x＜9時(shí)，函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)V（x）有最大值，
此時(shí)圓柱的高為9-6=3，
故圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比值為

6

3

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的再幾何中的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，屬于中檔題