Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n，則使該數(shù)列的n項和S_n不小于2016的最小自然數(shù)n等于7．

Answer 1

分析 化簡a_n+2=5a_n+1-6a_n可得a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n），a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），從而可知數(shù)列{a_n+1-2a_n}，{a_n+1-3a_n}成等比數(shù)列，從而求得．

解答 解：∵a_n+2=5a_n+1-6a_n，
∴a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n），
a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），
又∵a₂-2a₁=13-10=3，a₂-3a₁=13-15=-2，
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n+1-3a_n}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-2a_n=3ⁿ，a_n+1-3a_n=-2ⁿ，
∴a_n=3ⁿ+2ⁿ，a₁=5也成立；
故S_n=（3+2）+（4+9）+…+（3ⁿ+2ⁿ）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）+2（2ⁿ-1）≥2016，
故n≥7，
故答案為：7．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷及應(yīng)用，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用．