Question

10．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）圖象，求出y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值和取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用五點(diǎn)法作圖，將表格數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求得函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}}$]上的最小值和取得最小值時(shí)x的值．

解答 解  （Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：A=5，$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，解得$ω=2，φ=-\frac{π}{6}$．?dāng)?shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$	y=sinx	（kπ，0）	$2x+\frac{π}{6}=kπ$	k∈Z
$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$	0	5	0	k∈Z	0

且函數(shù)表達(dá)式為f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=5sin（2x-\frac{π}{6}）$，因此 $g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$，
在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}}$]上，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}}\right.，\left.{\frac{3π}{2}}]$，當(dāng)$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，即$x=\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)的最小值為-5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查里用五點(diǎn)法作函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．