【題目】已知集合是集合 的一個(gè)含有個(gè)元素的子集.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
設(shè)
(i)寫出方程的解;
(ii)若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.
(Ⅱ)證明:對任意一個(gè),存在正整數(shù)使得方程 至少有三組不同的解.
【答案】(Ⅰ)(),();(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)()利用列舉法可得方程的解有: ;()列出集合的從小到大個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差,中間隔一數(shù)的兩數(shù)差,中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差,…中間隔一數(shù)的兩數(shù)差,可發(fā)現(xiàn)只有出現(xiàn)次, 出現(xiàn)次,其余都不超過次,從而可得結(jié)果;(Ⅱ)不妨設(shè)記, ,共個(gè)差數(shù),假設(shè)不存在滿足條件的,根據(jù)的取值范圍可推出矛盾,假設(shè)不成立,從而可得結(jié)論.
假設(shè)不存在滿足條件的,則這個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè),.
試題解析:(Ⅰ)()方程的解有:
()以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正,則:
列出集合的從小到大個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差: ;
中間隔一數(shù)的兩數(shù)差(即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和):4,5,6,6,5,4;
中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差: ;
中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差: ;
中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差: ;
中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差: ;
中間隔一數(shù)的兩數(shù)差: .
這個(gè)差數(shù)中,只有出現(xiàn)次, 出現(xiàn)次,其余都不超過次,
所以的可能取值有.
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)
記, ,共個(gè)差數(shù).
假設(shè)不存在滿足條件的,則這個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè),從而
又
這與矛盾,所以結(jié)論成立.
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【題目】已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)= +2x, 若函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)+1在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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【題目】中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌.古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,(如圖所示),表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位用橫式表示,以此類推.例如8455用算籌表示就是,則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求的最大值和最小值;
(2)若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮,現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形.
(1)求出,,,并猜測的表達(dá)式;
(2)求證:.
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【題目】已知函數(shù),直線l:.
求的單調(diào)增區(qū)間;
求證:對于任意,直線l都不是線的切線;
試確定曲線與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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【題目】一對夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用,從孩子一周歲生日開始,每年到銀行儲蓄元一年定期,若年利率為保持不變,且每年到期時(shí)存款(含利息)自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入,將所有存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)為
A.B.
C.D.
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【題目】隨著人工智能的興起,越來越多的事物可以用機(jī)器人替代,某學(xué)?萍夹〗M自制了一個(gè)機(jī)器人小青,共可以解決函數(shù)、解析幾何、立體幾何三種題型已知一套試卷共有該三種題型題目20道,小青解決一個(gè)函數(shù)題需要6分鐘,解決一個(gè)解析幾何題需要3分鐘,解決一個(gè)立體幾何題需要9分鐘已知小青一次開機(jī)工作時(shí)間不能超過90分鐘,若答對一道函數(shù)題給8分,答對一道解析幾何題給6分,答對一道立體幾何題給9分該興趣小組通過合理分配題目可使小青在一次開機(jī)工作時(shí)間內(nèi)做這套試卷得分最高,則最高得分為______分
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A. B. C. D.
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