Question

5．已知函數(shù)$f（x）={a^x}+log_a^{（x+1）}$
（1）當a=2時，求f（x）在x∈[0，1]的最大值；
（2）當0＜a＜1，f（x）在x∈[0，1]上的最大值和最小值之和為a，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由a=2，根據(jù)增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)，可得f（1）取得最大值；
（2）由0＜a＜1，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)，可得f（x）的單調性，f（1）取得最小值，f（0）取得最大值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=2^x+log₂（x+1），
可得y=2^x，y=log₂（x+1）在[0，1]遞增，
則f（x）在[0，1]遞增，
可得f（1）取得最大值，且為2+log₂（1+1）=3；
（2）當0＜a＜1，可得y=a^x，y=log_a（x+1）在[0，1]遞減，
則f（x）在[0，1]遞減，
可得f（1）取得最小值，且為a+log_a2；
f（0）取得最大值，且為1+log_a1=1．
由題意可得1+a+log_a2=a，
解得a=$\frac{1}{2}$．
即a的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．