Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$滿足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$=$\frac{1}{2}$，則△ABC的形狀是（　�。�

• A． 三邊均不相等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰（非等邊）三角形
• D． 等邊三角形

Answer 1

分析 先根據(jù)（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0判斷出∠A的角平分線與BC垂直，進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得C，判斷出三角形的形狀．

解答 解：∵（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$分別為單位向量，
∴∠A的角平分線與BC垂直，
∴AB=AC，
∵cosA=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=$\frac{π}{3}$，
∴∠B=∠C=∠A=$\frac{π}{3}$，
∴三角形為等邊三角形．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角形形狀的判斷．考查了學(xué)生綜合分析能力，屬于中檔題．