Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+p•2ⁿ+1（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．（1）求p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b₂=4，滿足4 Sn-n=（a_n-n） bn（n∈N^*），求證：（1+

1

bn

） 

1

2

bn＜

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2（4+2p+1）=3+（5+6p），從而p=1，an+1=an+2n+1，進(jìn)而得到a_n=2ⁿ+n．
（2）由已知得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，從而b_n=2n，由此能證明（1+

1

bn

） 

1

2

bn＜

5

3

．

解答： （1）解：∵a₁=3，an+1=an+p•2n+1，
∴a₂=a₁+2p+1=4+2p，
a₃=a₂+4p+1=5+6p，
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，∴2（4+2p+1）=3+（5+6p），
∴p=1，∴an+1=an+2n+1，
∴n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2^n-1+1，an-1-an-2=2n-2+1，…，a₂-a₁=2+1，
∴an-a1=2n-1+2n-2+…+2+n-1
=

2(1-2n-1)

1-2

+n-1
=2ⁿ+n-3，
∴an=2n+n（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2+1=3，
∴a_n=2ⁿ+n．
（2）證明：∵4Sn-n=(an-n)bn，∴4Sn-n=2nbn，
∴2S_n-2n=nb_n，①
∴2S_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1，②
由②-①，得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
∴（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③
由③，得：nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，④
由④-③，得b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴{b_n}是等差數(shù)列，
由①得b₁=2，∵b₂=4，∴b_n=2n，
∵（1+

1

bn

） 

1

2

bn=（1+

1

2n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

2n

+

C

2 n

•(

1

2n

)2+…+

C

r n

(

1

2n

)r+…+

C

n n

(

1

2n

)n，

C

r n

(

1

2n

)r=

1

2r

•

C r n

nr

=

1

2r

•

n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

nr•r!

≤

1

2r

•

1

2×2×2×…×1

=

1

22r-1

，r=1，2，3，…，n，
(1+

1

bn

)

1

2

bn=（1+

1

2n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

2n

+

C

2 n

(

1

2n

)2+…+

C

r n

(

1

2n

)r+…+

C

n n

(

1

2n

)n
≤1+

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-1

=1+

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=1+

2

3

(1-

1

4n

)＜

5

3

，
∴（1+

1

bn

） 

1

2

bn＜

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．