Question

14．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0．則不等式f（2x）＜0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}．

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），由求出g′（x）后根據(jù)條件判斷出g（x）的單調(diào)性，由f（x）的奇偶性得到g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、還有g(shù)（0）=0，再通過(guò)奇偶性、單調(diào)性列出不等式組，求出不等式的解集．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x），
∵在區(qū)間（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（-2）=0，∴f（2）=0；
即g（2）=g（-2）=0且，（0）=f（0）=0，
∴f（2x）＜0化為$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＜0}\\{2x＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＞g（-2）}\\{2x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（2x）＜g（2）}\\{2x＞0}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或0＜x＜1，
∴不等式的解集是{x|x＜-1或0＜x＜1}，
故答案是：{x|x＜-1或0＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以及構(gòu)造函數(shù)法，注意函數(shù)值為零時(shí)的自變量．