Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2），斜傾角為60°，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，可得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求得直線(xiàn)l的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，即可得到所求值．

解答 解：（ 1）由ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$知，ρ²+ρ²sin²θ=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入上式，可得x²+2y²=4，
所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2），傾斜角為60°，
所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcos60°}\\{y=2+tsin60°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
即為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程x²+2y²=4，得：7t²+20$\sqrt{3}$t+28=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁、t₂，
則t₁t₂=4，故|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，注意運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，考查直線(xiàn)的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用參數(shù)的幾何意義以及韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．