Question

已知函數(shù)f（x）=（

3

sinωx-cosωx）cosωx+

1

2

（ω＞0）的周期為2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a=

3

，b+c=3，f（A）=

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由已知周期求出ω的值，即可確定出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)與cosA的值代入并利用完全平方公式變形，將b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin（2ωx-

π

6

），
由f（x）周期為2π，得到ω=

1

2

，
則f（x）=sin（x-

π

6

）；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，得到sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理得：b²+c²-2bccosA=a²，即b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=3，
把b+c=3代入得：bc=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．