Question

某工廠接到一標識制作訂單，標識如圖所示，分為兩部分，“T型”部分為寬為10cm 的兩個矩形相接而成，圓面部分的圓周是A，C，D，F(xiàn)的外接圓．要求如下：①“T型”部分的面積不得小于800cm²；②兩矩形的長均大于外接圓半徑．為了節(jié)約成本，設(shè)計時應(yīng)盡量減小圓面的面積．此工廠的設(shè)計師，憑直覺認為當“T型”部分的面積取800cm²且兩矩形的長相等時，成本是最低的．你同意他的觀點嗎？試通過計算，說說你的理由．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)一個矩形長AF=x（dm），則另一矩形長為8-x（dm）．設(shè)圓半徑為r（dm），則

r2- 1 4 x2

-1+

r2- 1 4

=8-x，化簡整理，令9-x=t，得到2

r2- 1 4

=

5

4

（t+

16

t

）-

9

2

，再由基本不等式即可得到最小值，注意等號成立的條件．

解答： 解：設(shè)一個矩形長AF=x（dm），則另一矩形長為8-x（dm）．
設(shè)圓半徑為r（dm），則

r2- 1 4 x2

-1+

r2- 1 4

=8-x，
r²-

1

4

x²=（9-x）²+r²-

1

4

-2（9-x）

r2- 1 4

，
即2（9-x）

r2- 1 4

=（9-x）²+

1

4

x²-

1

4

．
令9-x=t，得2t

r2- 1 4

=t²+

1

4

（9-t）²-

1

4

=

5

4

t²+20-

9

2

t，
得2

r2- 1 4

=

5

4

（t+

16

t

）-

9

2

≥

5

4

×2

t• 16 t

-

9

2

=

11

2

，
即r²≥

121

16

+

1

4

，
即有r≥

5 5

4

，
此時t=4即有x=5，y=3（單位：dm）．
則不同意他的觀點．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的運用，根據(jù)題意得到等式，通過換元化簡整理是解題的關(guān)鍵，考查運算能能力，屬于中檔題．