分析 (Ⅰ)依題意可知G是AC中點(diǎn),由BF⊥平面ACE,得CE⊥BF,再由BC=BE,可得F是EC中點(diǎn),得到FG∥AE,由線面平行的判定得AE∥平面BFD.
(Ⅱ)由AD⊥平面ABE,AD∥BC,可得BC⊥平面ABE,進(jìn)一步得到AE⊥BC.結(jié)合BF⊥平面ACE,得CE⊥BF,由線面垂直的判定得AE⊥平面BCE;
(Ⅲ)由已知可得GF⊥平面BCF.解直角三角形求得△BCF的面積,然后利用等積法求得三棱柱C-BGF的體積.
解答 (Ⅰ)證明:依題意可知:G是AC中點(diǎn),
∵BF⊥平面ACE,則CE⊥BF,而BC=BE,∴F是EC中點(diǎn).
在△ABC中,F(xiàn)G∥AE,∴AE∥平面BFD.
(Ⅱ)證明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE,則AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE,則CE⊥BF,
∴AE⊥平面BCE;
(Ⅲ)∵AE∥平面BFD,∴AE∥FG,而AE⊥平面BCG,
∴FG⊥平面BCE,∴GF⊥平面BCF.
∵G是AC的中點(diǎn),∴F是CE的中點(diǎn),且FG=$\frac{1}{2}AE=1$,
∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE.
∴在Rt△BCE中,BF=CF=$\frac{1}{2}CE=\sqrt{2}$.
∴${S}_{△CFB}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$,
則${V}_{C-BGF}={V}_{G-BCF}=\frac{1}{3}{S}_{△CFB}•FG=\frac{1}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定,考查了空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積,是中檔題.
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A. | $\frac{\sqrt{2}a}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}a}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}a}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}a}{3}$ |
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