Question

【題目】如圖，橢圓x2+ =1的左、右頂點分別為A、B，雙曲線Γ以A、B為頂點，焦距為2 ，點P是Γ上在第一象限內的動點，直線AP與橢圓相交于另一點Q，線段AQ的中點為M，記直線AP的斜率為k，O為坐標原點．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）求點M的縱坐標yM的取值范圍；
（3）是否存在定直線l，使得直線BP與直線OM關于直線l對稱？若存在，求直線l方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，a=1，c= ，b=2，

∴雙曲線Γ的方程 =1

（2）解：由題意，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

直線AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入橢圓方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0

∴x=﹣1或x2= ，

∴Q（ ， ），M（﹣ ， ）

∴yM= = 在（0，2）上單調遞增，∴yM∈（0，1）

（3）解：由題意，kAPkBP= =4，

同理kAPkOM=﹣4，

∴kOM+kBP=0，

設直線OM：y=k′x，則直線BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x= ，

∵kOM+kBP=0，∴直線BP與OM關于直線x= 對稱

【解析】（1）求由題意，a=1，c= ，b=2，即可雙曲線Γ的方程；（2）yM= = 在（0，2）上單調遞增，即可求點M的縱坐標yM的取值范圍；（3）求出kOM+kBP=0，可得直線BP與OM關于直線x= 對稱