【題目】【2018安徽江南十校高三3月聯(lián)考】線段為圓: 的一條直徑,其端點, 在拋物線: 上,且, 兩點到拋物線焦點的距離之和為.
(I)求直徑所在的直線方程;
(II)過點的直線交拋物線于, 兩點,拋物線在, 處的切線相交于點,求面積的最小值.
【答案】(I).(II).
【解析】試題分析:
(1)設(shè), ,拋物線的焦點為,由題意可得=,∴, 的方程為.利用點差法可得的直線方程為.
(2)不妨記, , ,直線的方程為,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,結(jié)合弦長公式可得 ,結(jié)合點到直線距離公式可得點到直線的距離 ,則 ,則的面積的最小值.
試題解析:
(1)設(shè), ,拋物線的焦點為,則,
又,故,∴,
于是的方程為.
,則 ,
∴的直線方程為.
(2)不妨記, , ,直線的方程為,
聯(lián)立得,
則, ,
又因為,則,
同理可得: ,
故, 為一元二次方程的兩根,
∴,
點到直線的距離 ,
,
∴時, 的面積取得最小值.
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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點,與軸, 軸分別相交于點和點,且,點是點關(guān)于軸的對稱點, 的延長線交橢圓于點,過點分別做軸的垂線,垂足分別為.
(1) 若橢圓的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時,若點平分線段,求橢圓的離心率.
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【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長均,為棱(不包括端點)上一動點,是的中點.
(Ⅰ)若,求的長;
(Ⅱ)當(dāng)在棱(不包括端點)上運動時,求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面,為直角梯形,與相交于點,,,,三棱錐的體積為9.
(1)求的值;
(2)過點的平面平行于平面,與棱,,,分別相交于點,求截面的周長.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓心的直角坐標(biāo);
(2)由直線上的點向圓引切線,并切線長的最小值.
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【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點的坐標(biāo)為,直線與曲線交于,兩點,求的值.
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【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)且)在處取得極值.
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上的最大值為1,求的值.
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【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算,樣本的平均值,標(biāo)準差,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應(yīng)事件的概率);
①;
②;
③
評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設(shè)備的性能等級.
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.
①從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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